Что такое доказательство

Выступил тут только что в одном комментарии, как будто я математик :)
Если есть здесь матаматики и если я что сказал неверно, поправьте пожалуйста.

Комментарий был на цитату из Успенского (приведенную в весьма не математическом журнале):

Хотя термин «доказательство» является едва ли не самым главным в математике, он не имеет точного определения и во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство – это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других.


Я написал:

Забавная цитата, но мне кажется, что она немножко вырвана из контекста (мне кажется, что я подобное видел в другой его книге "Апология математики", которая стоит у меня дома на полке - надо будет проверить).
Дело в том, что существует два разных понятия доказательства. Одно - про обычную жизнь: это относится к убеждению кого-нибудь в том, что что-то есть истина. Скажем в том, что обвиняемый в суде на самом деле виновен.
Другое - из матемаической логики и представляет собой некий совершенно формальный текст. Вернее, последовательность текстов: она должна начинаться с чего-то, обычно называемого аксиомками, кончаться тем, что обычно называется утверждением доказательства и каждый шаг от одного текста к следующему должен подчиняться строгим правилам, которые обычно называют правилами вывода.
Так вот определение Успенского - о первом типе доказательства. Второй тип гораздо более точен: можно построить механизм (или, по современному, программу), который проверит доказательство. То есть, "убедить" в данном случае нужно машину.

Но в даже и в математике (то есть применительно к математическим фактам) используется широкая гамма различных представлений о том, что является доказательством. И часто "доказательством" называют убеждение в том, что "формальное доказательство" и "машину" в принципе можно сделать - в реальности это часто невероятно сложно. И - мнения о том какими в точности должны быть правила вывода тоже не всегда сходятся...